5035. Дана прямая l
и точки A
и B
по одну сторону от неё. Найдите на прямой l
такую точку M
, чтобы луч MA
был биссектрисой угла между лучом MB
и одним из лучей с вершиной M
, принадлежащих данной прямой l
.
Указание. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Решение. Предположим, что искомая точка M
построена. Пусть K
— проекция точки A
на прямую l
. Тогда окружность с центром в точке A
и радиусом AK
вписана в угол BMK
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность с центром A
и радиусом, равным расстоянию от точки A
до данной прямой l
. Затем через точку B
проводим касательную к построенной окружности. Пересечение этой касательной с прямой l
даёт искомую точку M
.
Если AB
меньше расстояния от точки A
до прямой l
, то задача не имеет решений. В противном случае задача имеет два или одно решение.