5038. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и две прямые, на которых лежат биссектрисы углов при двух других вершинах.
Указание. Если A
— данная вершина искомого треугольника, то точки, симметричные точке A
относительно двух других данных прямых, лежат на прямой, содержащей сторону искомого треугольника.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть вершины B
и C
лежат на данных прямых l_{1}
и l_{2}
. Тогда точка M
, симметричная точке A
относительно прямой l_{1}
, и точка N
, симметричная точке A
относительно прямой l_{2}
, лежат на прямой BC
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точки M
и N
, симметричные данной точке A
относительно данных прямых l_{1}
и l_{2}
. Прямая MN
пересекает прямые l_{1}
и l_{2}
в вершинах B
и C
искомого треугольника ABC
.