5039. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из этих сторон.
Указание. Точка, симметричная данной середине стороны треугольника относительно данной прямой, лежит на другой стороне треугольника.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть N
и M
— данные середины его сторон AC
и BC
соответственно, а его биссектриса AK
лежит на данной прямой l
. Тогда точка N_{1}
, симметричная точке N
относительно прямой l
, лежит на прямой AB
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку N_{1}
, симметричную данной точке N
относительно данной прямой. Через точку N_{1}
проводим прямую, параллельную прямой MN
. Её точка пересечения с данной прямой есть искомая вершина A
. На продолжении отрезка AN
за точку N
строим вершину C
так, чтобы NC=AN
. Прямая CM
пересекает прямую AN_{1}
в искомой точке B
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 17.15, с. 33
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.15, с. 363
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.51, с. 169