5039. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из этих сторон.
Указание. Точка, симметричная данной середине стороны треугольника относительно данной прямой, лежит на другой стороне треугольника.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть N
и M
— данные середины его сторон AC
и BC
соответственно, а его биссектриса AK
лежит на данной прямой l
. Тогда точка N_{1}
, симметричная точке N
относительно прямой l
, лежит на прямой AB
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку N_{1}
, симметричную данной точке N
относительно данной прямой. Через точку N_{1}
проводим прямую, параллельную прямой MN
. Её точка пересечения с данной прямой есть искомая вершина A
. На продолжении отрезка AN
за точку N
строим вершину C
так, чтобы NC=AN
. Прямая CM
пересекает прямую AN_{1}
в искомой точке B
.