5040. Даны прямая l
и точки A
и B
по разные стороны от неё. С помощью циркуля и линейки постройте такую точку M
, что угол между AM
и l
в два раза меньше угла между BM
и l
, если известно, что эти углы не имеют общих сторон.
Указание. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Решение. Построим окружность с центром в точке A
и радиусом, равным расстоянию от точка A
до прямой l
. Пусть K
— точка касания этой окружности с прямой l
. Через точку B
проведём касательную к этой окружности. Пусть N
— одна из точек касания, M
— точка пересечения отрезка BN
с прямой l
. Тогда угол AMK
вдвое меньше угла NMK
. Следовательно, точка M
— искомая, поскольку угол NMK
равен углу между MB
и l
, не имеющему общих сторон с углом AMK
. Задача всегда имеет два решения.