5041. Даны прямая l
и точки A
и B
по одну сторону от неё. Пусть A_{1}
и B_{1}
— проекции этих точек на прямую l
. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l
такую точку M
, чтобы угол AMA_{1}
был вдвое меньше угла BMB_{1}
.
Указание. Пусть O
— точка, симметричная данной точке A
относительно данной прямой l
. С центрами в точках A
и O
постройте окружности радиусом, равным AA_{1}
. Через вторую данную точку B
проведите касательные к этим окружностям.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда искомая точка M
расположена на отрезке A_{1}B_{1}
.
Строим точку O
, симметричную точке A
относительно прямой l
. С центром в точке O
строим окружность радиусом, равным OA_{1}
. Через точку B
проводим касательную к построенной окружности, пересекающую отрезок A_{1}B_{1}
в точке M
. Пусть K
— точка касания. Тогда
\angle BMB_{1}=\angle A_{1}MK=2\angle A_{1}MO=2\angle AMA_{1}.
Для нахождения точки M
на продолжении отрезка A_{1}B_{1}
за точку B_{1}
строим окружность с центром в точке A
радиусом, равным AA_{1}
. Через точку B
проводим касательную BF
к этой окружности (F
— точка касания), пересекающую продолжение отрезка A_{1}B_{1}
(за точку B_{1}
) в точке M
. Тогда
\angle BMB_{1}=\angle FMA_{1}=2\angle AMA_{1}.