5041. Даны прямая l
и точки A
и B
по одну сторону от неё. Пусть A_{1}
и B_{1}
— проекции этих точек на прямую l
. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l
такую точку M
, чтобы угол AMA_{1}
был вдвое меньше угла BMB_{1}
.
Указание. Пусть O
— точка, симметричная данной точке A
относительно данной прямой l
. С центрами в точках A
и O
постройте окружности радиусом, равным AA_{1}
. Через вторую данную точку B
проведите касательные к этим окружностям.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда искомая точка M
расположена на отрезке A_{1}B_{1}
.
Строим точку O
, симметричную точке A
относительно прямой l
. С центром в точке O
строим окружность радиусом, равным OA_{1}
. Через точку B
проводим касательную к построенной окружности, пересекающую отрезок A_{1}B_{1}
в точке M
. Пусть K
— точка касания. Тогда
\angle BMB_{1}=\angle A_{1}MK=2\angle A_{1}MO=2\angle AMA_{1}.
Для нахождения точки M
на продолжении отрезка A_{1}B_{1}
за точку B_{1}
строим окружность с центром в точке A
радиусом, равным AA_{1}
. Через точку B
проводим касательную BF
к этой окружности (F
— точка касания), пересекающую продолжение отрезка A_{1}B_{1}
(за точку B_{1}
) в точке M
. Тогда
\angle BMB_{1}=\angle FMA_{1}=2\angle AMA_{1}.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 116, с. 105
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — № 24(в), с. 44
Источник: Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы. — М.: Просвещение, 1964. — № 76, с. 34
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 17.11, с. 57
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.11, с. 362
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1981, № 10, задача J-33 (1981, с. 144), с. 299