5044. Докажите, что в любом треугольнике точка H
пересечения высот (ортоцентр), центр O
описанной окружности и точка M
пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M
расположена между точками O
и H
, и MH=2MO
(прямая Эйлера).
Указание. Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
Решение. Первый способ. Пусть A_{1}
— середина стороны BC
треугольника ABC
, G
— точка пересечения прямых AA_{1}
и OH
. Воспользуемся известным фактом: AH=2OA_{1}
.
Из подобия треугольников A_{1}GO
и AGH
следует, что
\frac{AG}{GA_{1}}=\frac{HG}{GO}=\frac{AH}{OA_{1}}=2.
Следовательно, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, т. е. G
совпадает с M
и MH=2MO
.
Второй способ. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— медианы, а AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
— высоты треугольника ABC
. Рассмотрим гомотетию с центром в точке M
и коэффициентом -\frac{1}{2}
.
При этой гомотетии треугольник ABC
переходит в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, а прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
— в серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC
(высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
). Поэтому точка H
пересечения высот треугольника ABC
переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров этого треугольника, т. е. в центр O
его описанной окружности. Следовательно, точки H
и O
лежат на прямой, проходящей через центр гомотетии (точку M
), и MH=2MO
.
Примечание. 1. См. также статью Э.Г.Готмана «Прямая Эйлера», Квант, 1975, N2, с.20-25.
2. См. также статью А.А.Заславского «Эйлер и геометрия», Квант, 2007, N3, с.37-40.