5044. Докажите, что в любом треугольнике точка H
пересечения высот (ортоцентр), центр O
описанной окружности и точка M
пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M
расположена между точками O
и H
, и MH=2MO
(прямая Эйлера).
Указание. Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
Решение. Первый способ. Пусть A_{1}
— середина стороны BC
треугольника ABC
, G
— точка пересечения прямых AA_{1}
и OH
. Воспользуемся известным фактом: AH=2OA_{1}
.
Из подобия треугольников A_{1}GO
и AGH
следует, что
\frac{AG}{GA_{1}}=\frac{HG}{GO}=\frac{AH}{OA_{1}}=2.
Следовательно, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, т. е. G
совпадает с M
и MH=2MO
.
Второй способ. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— медианы, а AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
— высоты треугольника ABC
. Рассмотрим гомотетию с центром в точке M
и коэффициентом -\frac{1}{2}
.
При этой гомотетии треугольник ABC
переходит в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, а прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
— в серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC
(высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
). Поэтому точка H
пересечения высот треугольника ABC
переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров этого треугольника, т. е. в центр O
его описанной окружности. Следовательно, точки H
и O
лежат на прямой, проходящей через центр гомотетии (точку M
), и MH=2MO
.
Примечание. 1. См. также статью Э.Г.Готмана «Прямая Эйлера», Квант, 1975, N2, с.20-25.
2. См. также статью А.А.Заславского «Эйлер и геометрия», Квант, 2007, N3, с.37-40.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 158, с. 142
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — № 50(а), с. 83
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 86, с. 11
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 144, с. 193
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 68, с. 79
Источник: Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966. — с. 34
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — с. 29
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — , 438, с. 68
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 147, с. 54
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.105, с. 118
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.128, с. 116
Источник: Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7—9 кл. средней школы / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — с. 96-97
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 444, с. 53
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 40
Источник: Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы. — М.: Просвещение, 1964. — с. 139
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 55, с. 104