5049. С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по четырём точкам, лежащим на четырёх его сторонах.
Указание. Пусть K
, P
, R
, Q
— данные точки (в указанном порядке). Постройте на отрезках KP
и RQ
как на диаметрах окружности. (или на перпендикуляре, опущенном из точки R
на PQ
, отложите отрезок RS
, равный PQ
).
Решение. Первый способ. Предположим, что данные точки K
, P
, R
и Q
расположены на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
искомого квадрата ABCD
. Поскольку отрезок KP
виден из точки B
под прямым углом, то эта точка лежит на окружности с диаметром KP
. Аналогично точка D
лежит на окружности с диаметром PQ
. Пусть диагональ BD
квадрата вторично пересекает первую окружность в точке M
, а вторую — в точке N
. Поскольку диагональ квадрата делит его угол пополам, то точки M
и N
— середины соответствующих полуокружностей.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть K
, P
, R
, Q
— данные точки (в указанном порядке). Построим на отрезках KP
и QR
как на диаметрах окружности. Пусть M
и N
— середины полуокружностей, обращённых друг к другу. Диагональ квадрата лежит на прямой MN
. Дальнейшие действия очевидны.
Если точки M
и N
не совпадают, то задача имеет единственное решение. В противном случае задача имеет бесконечно много решений.
Второй способ. Через точку X
, расположенную внутри квадрата ABCD
, проведём две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает противоположные стороны квадрата. Пусть первая прямая пересекает стороны AB
и CD
в точках P
и Q
, а вторая — стороны BC
и AD
в точках R
и S
. Докажем, что PQ=RS
.
Пусть E
— проекция точки P
на DC
, а F
— проекция точки R
на AD
. Прямоугольные треугольники PEQ
и RFS
равны по катету и прилежащему острому углу. Поэтому PQ=RS
.
Предположим, что данные точки K
, P
, R
и Q
расположены на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
искомого квадрата ABCD
. Через точку R
проведём прямую, перпендикулярную PQ
. Пусть X
— точка пересечения этой прямой с отрезком PQ
. На луче RX
отложим отрезок RS
, равный PQ
. Тогда по ранее доказанному точка S
принадлежит стороне AB
искомого квадрата ABCD
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Из точки R
опустим перпендикуляр на PQ
. Отложим на этом перпендикуляре отрезок RS
, равный PQ
. Если точка S
не совпадает с точкой K
, проведём прямую KS
. На этой прямой лежит сторона искомого квадрата. Дальнейшее построение очевидно. В этом случае задача имеет единственное решение. Если же точка S
совпадает с точкой K
, то задача имеет бесконечно много решений.