5050. Задача о четырёх пятаках. Четыре окружности радиуса R
пересекаются по три в точках M
и N
, и по две в точках A
, B
, C
и D
. Докажите что ABCD
— параллелограмм.
Указание. Используя свойства ромба, докажите, что \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— центры описанных окружностей треугольников AMN
, AMB
, BMN
, CND
соответственно. Поскольку четырёхугольники O_{4}NO_{3}C
, NO_{1}MO_{3}
, O_{1}AO_{2}M
— ромбы, то
\overrightarrow{O_{4}C}=\overrightarrow{NO_{3}}=\overrightarrow{O_{1}M}=\overrightarrow{AO_{2}}.
Поскольку O_{4}DO_{1}N
, NO_{1}MO_{3}
, O_{3}MO_{2}B
— ромбы, то
\overrightarrow{O_{4}D}=\overrightarrow{NO_{1}}=\overrightarrow{O_{3}M}=\overrightarrow{BO_{2}}.
Таким образом,
\overrightarrow{O_{4}C}=\overrightarrow{AO_{2}},~\overrightarrow{O_{4}D}=\overrightarrow{BO_{2}}.
Следовательно,
\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{O_{4}D}-\overrightarrow{O_{4}C}=\overrightarrow{BO_{2}}-\overrightarrow{AO_{2}}=\overrightarrow{BA},
т. е. ABCD
— параллелограмм.
Автор: Капович В. и Капович И.
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 12, с. 26, М956
Источник: Задачник «Кванта». — М956
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.26, с. 61
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.27, с. 59