5051. Докажите, что общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, соединяющей их центры.
Указание. Докажите, что точки пересечения окружностей симметричны относительно линии центров этих окружностей.
Решение. Первый способ. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, A
и B
— точки их пересечения. Тогда
O_{1}A=O_{1}B,~O_{2}A=O_{2}B.
Следовательно, треугольник O_{1}AO_{2}
равен треугольнику O_{1}BO_{2}
. Поэтому точки A
и B
симметричны относительно прямой O_{1}O_{2}
, и AB
перпендикулярно O_{1}O_{2}
.
Второй способ. Центр каждой окружности равноудалён от концов общей хорды. Следовательно, центры окружностей лежат на серединном перпендикуляре к общей хорде.