5052. Дан треугольник ABC
, который можно накрыть одним пятаком. Постройте с помощью пятака четвёртую вершину параллелограмма ABCD
(пятак разрешается прикладывать к любым двум точкам и обводить карандашом).
Указание. Через точки A
и B
проводим одну окружность, через точки B
и C
— вторую. Пусть M
— вторая точка их пересечения. Через A
и M
проводим третью окружность (отличную от первой), которая пересекается со второй в точке N
. Наконец, через N
и C
проводим четвёртую окружность, не совпадающую со второй, которая пересекает третью в точке D
.
Решение. Через точки A
и B
проводим одну окружность, через точки B
и C
— вторую. Пусть M
— вторая точка их пересечения. Через A
и M
проводим третью окружность (отличную от первой), которая пересекается со второй в точке N
. Наконец, через N
и C
проводим четвёртую окружность, не совпадающую со второй, которая пересекает третью в точке D
. Докажем, что точка D
— искомая.
Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— центры построенных окружностей. Тогда отрезок CO_{4}
равен и параллелен отрезку O_{1}A
, а отрезок DO_{4}
равен и параллелен отрезку O_{1}B
. Поэтому отрезок CD
равен и параллелен отрезку BA
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Источник: Васильев Н. Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. — М.: Наука, 1974. — № 411, с. 11