5053. ABC
— данный остроугольный треугольник, H
— точка пересечения высот. Положим AB=c
, BC=a
, CA=b
, AH=x
, BH=y
, CH=z
. Докажите, что верно равенство ayz+bzx+cxy=abc
.
Указание. У всех четырёх треугольников ABC
, AHC
, AHB
, BHC
равны радиусы описанных окружностей.
Решение. У всех четырёх треугольников ABC
, AHC
, AHB
, BHC
равны радиусы описанных окружностей (так как \sin\angle AHB=\sin\angle C
и т. д.). Обозначим радиус через R
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BHC}+S_{\triangle CHA}+S_{\triangle AHB}.
Значит,
\frac{abc}{4R}=\frac{ayz}{4R}+\frac{bzx}{4R}+\frac{cxy}{4R},
Следовательно,
ayz+bzx+cxy=abc.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1988