5054. Пусть S
— окружность, описанная около треугольника ABC
. Докажите, что три окружности, симметричные S
относительно прямых, содержащих стороны треугольника, пересекаются в одной точке.
Указание. Три указанные окружности проходят через точку пересечения высот треугольника.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Тогда
\sin\angle AHB=\sin\angle C.
Поэтому радиус описанной окружности треугольника AHB
равен радиусу описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, если \angle C\ne90^{\circ}
, то эти окружности различны и симметричны относительно прямой AB
.
Аналогично для остальных окружностей. Из единственности окружности, симметричной данной, следует, что три указанные окружности проходят через точку H
.