5056. Внутри треугольника ABC
с углами \angle A=50^{\circ}
, \angle B=60^{\circ}
, \angle C=70^{\circ}
взята точка M
, причём \angle AMB=110^{\circ}
, \angle BMC=130^{\circ}
. Найдите \angle MBC
.
Ответ. 20^{\circ}
.
Указание. Докажите, что M
— точка пересечения высот треугольника ABC
. треугольника ABC
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Тогда
\angle BHC=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}=\angle BMC,
\angle AHB=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}=\angle AMB.
Заметим, что внутри треугольника существует ровно одна точка, из которой две стороны видны под данными углами (точка пересечения дуг двух окружностей). Значит, точка M
совпадает с точкой H
. Следовательно,
\angle MBC=90^{\circ}-\angle BCA=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}.