5062. В четырёхугольнике ABCD
площади треугольников ABC
и ACD
равны. Докажите, что диагональ BD
делится другой диагональю пополам.
Указание. Треугольники с равными площадями и общим основанием имеют равные высоты, опущенные на это основание.
Решение. Первый способ. Пусть O
— точка пересечения диагоналей, D_{1}
— точка, симметричная точке D
относительно прямой AC
. Поскольку площади треугольников ABC
и AD_{1}C
равны, то BD_{1}\parallel AC
. Кроме того, \angle BOA=\angle D_{1}OC
. Следовательно, треугольник BOD_{1}
— равнобедренный. Поэтому BO=OD_{1}
и BO=OD
.
Второй способ. Пусть P
и Q
— проекции вершин B
и D
на AC
. Тогда прямоугольные треугольники BPO
и DQO
равны по катету (BP=DQ
как высоты равновеликих треугольников с общим основанием) и острому углу. Следовательно, BO=OD
.
Примечание. Обратное утверждение тоже верно.