5063. Найдите среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью треугольник наименьшего периметра.
Ответ. Равнобедренный треугольник.
Указание. Задача сводится к следующей. Точки A
и B
расположены по одну сторону от прямой. Найдите на этой прямой такую точку C
, что сумма AC+BC
— минимальна.
Решение. Пусть AB
— данное основание треугольника. Тогда геометрическое место точек C
, для которых площадь треугольника ABC
равна данной, — две прямые, параллельные прямой AB
, отстоящие от неё на расстояния, равные высоте треугольника, которая равна удвоенной данной площади треугольника, делённой на данное основание AB
.
Пусть l
— одна из этих двух прямых. Тогда точка C
, для которой периметр треугольника ACB
минимален, — точка пересечения прямой l
с прямой AB_{1}
, где B_{1}
— точка, симметричная точке B
относительно прямой l
. В этом случае треугольник ACB
— равнобедренный.
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — № 2, с. 108