5064. Докажите, что среди всех четырёхугольников с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат.
Указание. Среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник. Пользуясь этим утверждением, превратите данный четырёхугольник в ромб.
Решение. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD
с заданной площадью S
. Будем последовательно уменьшать его периметр. Сначала превратим треугольники ABC
и ACD
в равнобедренные, перемещая их вершины B
и D
по прямым, параллельным диагонали AC
. При этом площадь четырёхугольника не изменится, а периметр может только уменьшиться. Пусть ABCD
уже такой четырёхугольник, что AB=BC
и AD=DC
.
Затем треугольники ABD
и BCD
, превратим в равнобедренные, перемещая их вершины A
и C
по прямой, параллельной диагонали BD
. При этом снова площадь четырёхугольника не изменится, а периметр может только уменьшиться.
Пусть всё это уже проделано. Тогда полученный четырёхугольник ABCD
— ромб (для простоты не меняем обозначений вершин). Если P
— периметр исходного четырёхугольника, P_{1}
— периметр полученного ромба, \alpha
— угол между соседними сторонами ромба, то
S=AB^{2}\sin\alpha=\left(\frac{P_{1}}{4}\right)^{2}\sin\alpha.
Следовательно,
P\geqslant P_{1}=4\sqrt{\frac{S}{\sin\alpha}}\geqslant4\sqrt{S},
причём равенство достигается только для квадрата.