5065. Берег реки — прямая линия. Отгородите от него прямоугольным забором общей длины p
участок наибольшей площади.
Ответ. Длина участка должна быть в два раза больше его ширины (половина квадрата).
Указание. Отразите линию забора относительно берега.
Решение. Отобразим линию забора симметрично от линии берега. Получим прямоугольник с периметром 2p
. Этот прямоугольник достигает максимальной площади, когда он — квадрат со стороной \frac{p}{2}
.
Действительно, если x
— сторона прямоугольника, то соседняя его сторона равна p-x
. Тогда для площади S
прямоугольника верно неравенство
S=x(p-x)\leqslant\frac{(x+(p-x))^{2}}{4}=\frac{p^{2}}{4},
причём равенство достигается только в случае, когда x=p-x
, т. е. при x=\frac{p}{2}
. Следовательно, длина участка равна \frac{p}{2}
, а ширина равна \frac{p}{4}
.