5066. На сторонах прямого угла с вершиной O
лежат концы отрезка AB
фиксированной длины a
. При каком положении отрезка площадь треугольника AOB
будет наибольшей?
Ответ. Когда треугольник AOB
— равнобедренный.
Решение. Отобразим отрезок AB
: сначала относительно прямой OA
, затем относительно прямой OB
, затем снова относительно прямой OA
. Получим четыре отрезка, составляющие ромб со стороной a
. Его площадь максимальна, когда он — квадрат. При этом
S=a^{2}\sin\alpha\leqslant a^{2},~\alpha=90^{\circ}.
Примечание. Задачу легко решить алгебраически. Можно обобщить задачу на произвольный угол.