5067. Докажите, что всякий выпуклый четырёхугольник с осью симметрии либо вписанный, либо описанный.
Указание. Разберите все возможные случаи.
Решение. Заметим, что каждая вершина такого четырёхугольника при симметрии либо переходит сама в себя, либо в другую вершину.
Если ось симметрии является диагональю, то она — биссектриса двух противоположных углов четырёхугольника. Тогда на ней пересекаются две другие биссектрисы, т. е. четырёхугольник — описанный.
Если ось симметрии не является диагональю, то она — серединный перпендикуляр к двум сторонам. Тогда на ней пересекаются два других серединных перпендикуляра, т. е. четырёхугольник вписанный.