5073. Сторона BC
треугольника ABC
равна a
, радиус вписанной окружности равен r
. Известно, что вписанная окружность касается окружности с диаметром BC
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{a^{2}r}{a-r}
.
Указание. Примените формулу Герона и формулу площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть вписанная окружность с центром I
касается сторон AC
, AB
и BC
в точках K
, L
и N
соответственно, O
— середина BC
(центр окружности с диаметром BC
). Обозначим AK=AL=x
, CK=CN=y
, BN=BL=z
, x+y+z=p
— полупериметр треугольника ABC
. Будем считать, что точка N
лежит на отрезке OB
.
Точка P
касания окружностей лежит на их линии центров, поэтому
OI=OP-IP=\frac{a}{2}-r.
Из прямоугольного треугольника ION
находим, что
ON=\sqrt{OI^{2}-IN^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-r\right)^{2}-r^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-ar}.
Тогда
z=BN=BO-ON=\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-ar},~
y=CN=CO+ON=\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-ar},
y+z=a,~yz=\frac{a^{2}}{4}-\left(\frac{a^{2}}{4}-ar\right)=ar.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
. По формуле Герона
S=\sqrt{p(p-BC)(p-AB)(p-AC)}=\sqrt{(x+y+z)xyz}=\sqrt{(x+a)xar}.
В то же время,
S=pr=(x+y+z)r=(x+a)r.
Из равенства \sqrt{(x+a)xar}=(x+a)r
находим, что x=\frac{ar}{a-r}
. Следовательно,
S=(x+a)r=\left(\frac{ar}{a-r}+a\right)r=\frac{a^{2}r}{a-r}.