5075. ABCD
— вписанный четырёхугольник. Отрезки от вершины A
до точек касания с вписанной окружностью равны a
. Отрезки от вершины C
до точек касания равны b
. В каком отношении диагональ AC
делится диагональю BD
?
Ответ. \frac{a}{b}
, считая от точки A
.
Указание. Диагонали описанного четырёхугольника и отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с противоположными сторонами, пересекаются в одной точке (см. задачу 790).
Решение. Первый способ. Пусть описанная окружность четырёхугольника касается сторон BC
и AD
в точках M
и N
соответственно, а диагонали четырёхугольника пересекаются в точке P
. Известно, прямая MN
проходит через точку P
(см. задачу 790).
Обозначим \angle APN=\angle CPM=\alpha
, \angle BMP=\angle ANP=\beta
. Применив теорему синусов к треугольникам APN
и CPM
, получим, что
\frac{AP}{\sin\angle ANP}=\frac{AN}{\sin\angle APN},~\frac{CP}{\sin\angle CMP}=\frac{CM}{\sin\angle CPM},
или
\frac{AP}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha},~\frac{CP}{\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{b}{\sin\alpha}.
Разделив первое из этих равенств на второе, получим, что \frac{AP}{CP}=\frac{a}{b}
.
Второй способ. Пусть вписанная окружность четырёхугольника ABCD
касается его сторон AB
, BC
, CD
и AD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно, P
— точка пересечения отрезка KM
с диагональю AC
. Обозначим \angle AKP=\varphi
. Тогда
\angle DMP=\varphi,~\angle CMP=180^{\circ}-\angle DMP=180^{\circ}-\varphi.
Записав двумя способами отношение площадей треугольников APK
и CPM
, получим
\frac{S_{\triangle APK}}{S_{\triangle CPM}}=\frac{\frac{1}{2}PK\cdot PA\sin\angle APK}{\frac{1}{2}PM\cdot PC\sin\angle CPM}=\frac{PK\cdot PA}{PM\cdot PC},
\frac{S_{\triangle APK}}{S_{\triangle CPM}}=\frac{\frac{1}{2}KA\cdot KP\sin\varphi}{\frac{1}{2}MC\cdot MP\sin(180^{\circ}-\varphi)}=\frac{a\cdot KP}{b\cdot MP}.
Из равенства \frac{PK\cdot PA}{PM\cdot PC}=\frac{a\cdot KP}{b\cdot MP}
находим, что \frac{PA}{PC}=\frac{a}{b}
.
Аналогично докажем, что точка пересечения отрезка NL
с той же диагональю AC
делит AC
в отношении \frac{a}{b}
, а значит, прямые AC
, KM
и NL
пересекаются в одной точке. Аналогично, диагонали BD
проходит через эту точку. Следовательно, искомое отношение равно \frac{a}{b}
.