5077. Четырёхугольник имеет ось симметрии. Докажите, что он либо является равнобедренной трапецией, либо прямоугольником, либо симметричен относительно диагонали.
Решение. Пусть ось симметрии четырёхугольника не является диагональю. Тогда как минимум три его вершины лежат вне оси. Поэтому две вершины лежат по одну сторону от оси. Назовём их A
и B
. Тогда симметричные им точки A_{1}
и B_{1}
— также вершины.
Следовательно, ABA_{1}B_{1}
— равнобедренная трапеция или прямоугольник.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 2, с. 56
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2, с. 361