5081. Четырёхугольник имеет ровно две оси симметрии. Верно ли, что он — либо прямоугольник, либо ромб?
Ответ. Верно.
Указание. Если фигура имеет ровно две оси симметрии, то они взаимно перпендикулярны. Если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии.
Решение. Если фигура имеет ровно две оси симметрии, то они взаимно перпендикулярны. Действительно, пусть l_{1}
и l_{2}
— оси симметрии фигуры. Предположим, что они не перпендикулярны. Тогда прямая, симметричная l_{2}
относительно l_{1}
, — также ось симметрии, не совпадающая ни с l_{1}
, ни с l_{2}
. Получили противоречие.
Докажем теперь, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии. Примем оси симметрии за оси координат OX
и OY
. Тогда, если точка (x;y)
принадлежит фигуре, то ей также принадлежат точки (-x;y)
(симметрия относительно оси OY
) и (-x;-y)
(симметрия относительно OX
). Значит, точка (-x;-y)
, симметричная точке (x;y)
относительно начала координат, принадлежит фигуре. Следовательно, фигура симметрична относительно начала координат.
Четырёхугольник, имеющий центр симметрии, — параллелограмм. Его оси симметрии взаимно перпендикулярны и являются либо диагоналями, либо серединными перпендикулярами к сторонам. Следовательно, четырёхугольник является либо ромбом, либо прямоугольником.