5086. Прямая, проходящая через точку M
основания AB
равнобедренного треугольника ABC
, пересекает прямые AC
и BC
в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Докажите, что \frac{AA_{1}}{A_{1}M}=\frac{BB_{1}}{B_{1}M}
.
Указание. Отобразите прямую A_{1}B_{1}
симметрично относительно прямой AB
и рассмотрите образовавшиеся подобные треугольники. (Или примените теорему синусов.)
Решение. Первый способ. Пусть A_{2}
и B_{2}
— такие точки на прямых AC
и BC
, что прямые A_{2}B_{2}
и A_{1}B_{1}
симметричны относительно прямой AB
. Тогда треугольник AA_{1}M
подобен треугольнику BB_{2}M
по двум углам. Поэтому
\frac{AA_{1}}{A_{1}M}=\frac{BB_{2}}{B_{2}M}.
Поскольку MB
— биссектриса угла B_{2}MB_{1}
, то
\frac{BB_{2}}{B_{2}M}=\frac{BB_{1}}{B_{1}M}.
Следовательно,
\frac{AA_{1}}{A_{1}M}=\frac{BB_{1}}{B_{1}M}.
Второй способ. По теореме синусов
\frac{AA_{1}}{A_{1}M}=\frac{\sin\angle AMA_{1}}{\sin\angle MAA_{1}}=\frac{\sin\angle BMB_{1}}{\sin\angle MBB_{1}}=\frac{BB_{1}}{B_{1}M}.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 17.3
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.2, с. 362