5087. Постройте четырёхугольник ABCD
по четырём сторонам, если известно, что его диагональ AC
является биссектрисой угла A
.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно прямой AC
.
Решение. Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD
построен. Пусть AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=d
— данные стороны (для определённости будем считать, что a\leqslant d
), AC
— биссектриса угла A
.
При симметрии относительно прямой AC
точка B
переходит в точку B_{1}
луча AD
. Поэтому
DB_{1}=AD-AB_{1}=d-a,~CB_{1}=CB=b.
В треугольнике CB_{1}D
известны все стороны.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник CB_{1}D
по трём сторонам (DB_{1}=d-a
, CB_{1}=b
, CD=c
). Затем на продолжении стороны DB_{1}
за точку B_{1}
откладываем отрезок B_{1}A=a
. Тогда AC
— диагональ искомого четырёхугольника. Вершина B
симметрична точке точке B_{1}
относительно прямой AC
.
Если AD\ne AB
и существует треугольник со сторонами b
, c
и d-a
, то задача имеет единственное решение. Если a=d
и b=c
, то решений бесконечно много. Если же a=d
, а c\ne b
, то решений нет.