5088. Постройте четырёхугольник ABCD
по двум сторонам AB
и AD
и двум углам B
и D
, если известно, что в него можно вписать окружность.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно биссектрисы угла BAD
.
Решение. Предположим, что AD\gt AB
. При симметрии относительно биссектрисы угла BAD
точка B
перейдёт в точку B_{1}
на стороне AD
, а образ прямой CB
пересечёт прямую CD
в точке M
.
Треугольник B_{1}DM
можно построить по стороне и двум прилежащим к ней углам. Его вневписанная окружность — это окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD
.
Если AB\ne AD
, то задача имеет единственное решение, если AB=AD
и \angle B=\angle D
, то решений бесконечно много, если же AB=AD
и \angle B\ne\angle D
, то решений нет.
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — № 28(б), с. 45
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 17.5, с. 57
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.5, с. 362
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.53, с. 170