5089. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и разности углов, прилежащих к третьей.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно высоты треугольника.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Пусть BC=a
, AC=b
, \angle B-\angle A=\gamma
.
При симметрии относительно высоты, опущенной из вершины C
, точка B
переходит в точку B_{1}
на стороне AB
(предполагаем, что b\gt a
). По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACB_{1}=\angle CB_{1}B-\angle BAC=\angle ABC-\angle BAC=\gamma.
Треугольник AB_{1}C
можно построить по сторонам AC=b
, B_{1}C=a
и углу между ними: \angle ACB_{1}=\gamma
. Построив после этого точку B
, симметричную B_{1}
относительно высоты, проведённой из вершины C
, получим третью вершину искомого треугольника ABC
.
Если (a-b)\cdot\gamma\gt0
, то задача имеет единственное решение. Если a-b=0
и \gamma=0
, то решений бесконечно много. Иначе — решений нет.