5090. Постройте треугольник ABC
по углам A
и B
и разности сторон AC
и BC
.
Указание. Точка, симметричная вершине B
относительно биссектрисы угла C
, лежит на луче CA
.
Решение. Первый способ. Предположим, что AC\gt BC
. При симметрии относительно биссектрисы угла C
вершина B
переходит в точку B_{1}
на прямой AC
. Треугольник AB_{1}B
можно построить по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если (\angle A-\angle B)(BC-AC)\gt0
, то задача имеет единственное решение. Если \angle A-\angle B=0
и BC-AC=0
, то решений бесконечно много. Иначе — решений нет.
Второй способ. Строим произвольный треугольник KLM
такой, что \angle K=\angle A
, \angle L=\angle B
. Треугольник ABC
можно построить как подобный треугольнику KLM
с коэффициентом \frac{KM-LM}{AC-BC}
.