5095. От данного угла отрезком данной длины отрежьте треугольник наибольшего возможного периметра.
Ответ. Равнобедренный треугольник.
Указание. Докажите, что среди всех треугольников с данной стороной AB
и данным противолежащим углом C
наибольший периметр имеет равнобедренный.
Решение. Докажем, что среди всех треугольников с данной стороной AB
и данным противолежащим углом C
наибольший периметр имеет равнобедренный.
Пусть A_{1}
— точка, симметричная вершине A
относительно биссектрисы внешнего угла C
треугольника ABC
. Тогда
BA_{1}=BC+CA_{1}=BC+AC,
а точка A_{1}
лежит лежит на окружности, проходящей через точки A
и B
так, что \cup AB=\angle C
.
Если BA_{1}
максимально, то BA_{1}
— диаметр. Тогда C
— центр этой окружности и CA=CB
.