5096. От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.
Указание. Разрезы сложатся в отрезок длины 2, и этим отрезком надо отсечь равнобедренный треугольник.
Решение. Докажем, сначала, что среди всех треугольников с данной стороной AB
и данным противолежащим углом C
наибольший периметр имеет равнобедренный.
Действительно, пусть A_{1}
— точка, симметричная вершине A
относительно биссектрисы внешнего угла C
треугольника ABC
. Тогда
BA_{1}=BC+CA_{1}=BC+AC,
а точка A_{1}
лежит лежит на окружности, проходящей через точки A
и B
так, что \cup AB=\angle C
.
Если BA_{1}
максимально, то BA_{1}
— диаметр. Тогда C
— центр этой окружности и CA=CB
.
Пусть теперь C
— вершина данного угла, BM
и AM
— разрезы длины 1 (точки B
и A
лежат на сторонах угла). Зафиксируем угол между BM
и AM
, при этом CB+CA
максимально, когда AC=BC
, т. е. точка M
лежит на биссектрисе угла C
. Если так, то BC+AC
максимально, когда \angle BMC=90^{\circ}
. Следовательно, \angle BMA=180^{\circ}
и AC=BC
.