5098. Дана прямая l
и точки A
и B
по одну сторону от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l
точку X
, для которой AX+BX=a
, где a
— данная величина.
Указание. Пусть A_{1}
— точка, симметричная точке A
относительно данной прямой l
. Через точки A
и A_{1}
проведите окружность, касающуюся внутренним образом окружности с центром в точке B
и радиусом a
.
Решение. Предположим, что нужная точка X
построена. На продолжении отрезка BX
за точку X
отложим отрезок XC
, равный XA
. Тогда
BC=BX+XC=BX+XA=a.
Следовательно, точка C
лежит на окружности S_{1}
с центром в точке B
и радиусом a
. С другой стороны, так как XC=XA
, то точки A
и C
лежат на окружности S_{2}
с центром в точке X
и радиусом XA=XC
. Поскольку BC=BX+XC
, то окружности S_{1}
и S_{2}
касаются внутренним образом в точке C
, а так как окружность симметрична относительного любого своего диаметра, то точка A_{1}
, симметричная точке A
относительно прямой l
, расположена на окружности S_{2}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность S_{1}
с центром в точке B
и радиусом a
. Затем через точку A
и симметричную ей относительно прямой l
точку A_{1}
проводим окружность S_{2}
, касающуюся окружности S_{1}
(см. задачу 4777). Центр окружности S_{2}
есть искомая точка X
.
Задача имеет два решения, если BA_{1}\gt a
, одно решение, если BA_{1}=a
, и ни одного решения, если BA_{1}\lt a
.