5098. Дана прямая l
и точки A
и B
по одну сторону от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l
точку X
, для которой AX+BX=a
, где a
— данная величина.
Указание. Пусть A_{1}
— точка, симметричная точке A
относительно данной прямой l
. Через точки A
и A_{1}
проведите окружность, касающуюся внутренним образом окружности с центром в точке B
и радиусом a
.
Решение. Предположим, что нужная точка X
построена. На продолжении отрезка BX
за точку X
отложим отрезок XC
, равный XA
. Тогда
BC=BX+XC=BX+XA=a.
Следовательно, точка C
лежит на окружности S_{1}
с центром в точке B
и радиусом a
. С другой стороны, так как XC=XA
, то точки A
и C
лежат на окружности S_{2}
с центром в точке X
и радиусом XA=XC
. Поскольку BC=BX+XC
, то окружности S_{1}
и S_{2}
касаются внутренним образом в точке C
, а так как окружность симметрична относительного любого своего диаметра, то точка A_{1}
, симметричная точке A
относительно прямой l
, расположена на окружности S_{2}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность S_{1}
с центром в точке B
и радиусом a
. Затем через точку A
и симметричную ей относительно прямой l
точку A_{1}
проводим окружность S_{2}
, касающуюся окружности S_{1}
(см. задачу 4777). Центр окружности S_{2}
есть искомая точка X
.
Задача имеет два решения, если BA_{1}\gt a
, одно решение, если BA_{1}=a
, и ни одного решения, если BA_{1}\lt a
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1937, III, 1-й тур
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — № 30(а), с. 45
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 2, с. 22
Источник: Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. — Ч. 2: Геометрия (планиметрия). — М.: ГТТИ, 1952. — № 77, с. 26
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 179, с. 157
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.9, с. 362