5103. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.
Указание. Через данный центр описанной окружности проведите прямую, параллельную одной из двух прямых, и рассмотрите образ второй данной прямой при симметрии относительно проведённой (т. е. серединного перпендикуляра к стороне искомого треугольника).
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть O
— центр его описанной окружности, AA_{1}
и BB_{1}
— высоты, лежащие на данных прямых, M
и N
— середины сторон BC
и AC
(проекции точки O
на стороны BC
и AC
).
При симметрии относительно прямой OM
прямая BB_{1}
переходит в прямую, проходящую через вершину C
; прямая AA_{1}
при симметрии относительно прямой ON
переходит в прямую, также проходящую через точку C
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Через данный центр O
описанной окружности проведём прямые l_{1}
и l_{2}
, соответственно параллельные данным прямым. Отобразим первую из данных прямых относительно прямой l_{2}
, а вторую — относительно l_{1}
. Отображённые прямые пересекаются в вершине искомого треугольника.
Автор: Грязнов Ю. А.
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 2, с. 34, М246
Источник: Задачник «Кванта». — М246