5106. Может ли фигура иметь центр симметрии и ровно одну ось симметрии?
Ответ. Нет.
Решение. Пусть центр O
симметрии не принадлежит оси симметрии l
. Тогда прямая l_{1}
, симметричная прямой l
относительно точки O
, также является осью симметрии фигуры.
Пусть точка O
принадлежит прямой l
. Введём оси координат, приняв за начало координат точку O
, а за ось OX
— прямую l
. Тогда, если точка (x;y)
принадлежит фигуре, то точка (x;-y)
также ей принадлежит (симметрия относительно оси OX
). Тогда и точка (-x;y)
также принадлежит фигуре (симметрия относительно точки O
). Следовательно, фигура симметрична относительно оси OY
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 17.39, с. 60
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.44, с. 365