5107. На плоскости дан угол, равный \alpha
, с вершиной в точке O
. Докажите, что композиция симметрий относительно сторон угла является поворотом вокруг точки O
на угол 2\alpha
.
Указание. Проследите путь произвольной точки плоскости при симметриях относительно сторон угла.
Решение. Пусть A_{1}
— точка, симметричная точке A
относительно первой стороны данного угла, точка A_{2}
симметрична точке A_{1}
относительно второй стороны угла. Тогда
OA=OA_{1}=OA_{2},~\angle AOA_{2}=\angle AOA_{1}+\angle A_{1}OA_{2}=2\alpha.