5107. На плоскости дан угол, равный \alpha
, с вершиной в точке O
. Докажите, что композиция симметрий относительно сторон угла является поворотом вокруг точки O
на угол 2\alpha
.
Указание. Проследите путь произвольной точки плоскости при симметриях относительно сторон угла.
Решение. Пусть A_{1}
— точка, симметричная точке A
относительно первой стороны данного угла, точка A_{2}
симметрична точке A_{1}
относительно второй стороны угла. Тогда
OA=OA_{1}=OA_{2},~\angle AOA_{2}=\angle AOA_{1}+\angle A_{1}OA_{2}=2\alpha.
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — с. 50
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 17.22, с. 58
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.22(б), с. 363