5108. Из точки O
на плоскости выходят 2n
прямых. Могут ли они служить серединными перпендикулярами к сторонам некоторого 2n
-угольника?
Ответ. Не всегда. Критерий:
\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{2n-1}=\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{2n}=180^{\circ}\cdot k,
где \alpha_{i}
— угол между i
-й и (i+1)
-й прямой, где k
— натуральное.
Указание. Композиция двух симметрий относительно пересекающихся осей есть поворот на угол, равный удвоенному углу между этими осями.
Решение. Пусть A_{1}A_{2}\ldots A_{2n}
— многоугольник, серединными перпендикулярами к сторонам которого служат данные прямые. Тогда композиция 2n
симметрий относительно данных прямых есть тождественное преобразование, т. е. поворот на угол 360^{\circ}\cdot k
. Следовательно,
2(\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{2n-1})=360^{\circ}\cdot k,~\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{2n-1}=180^{\circ}\cdot k.