5109. Дан вписанный 2n
-угольник с углами \beta_{1}
, \beta_{2}
, \ldots
, \beta_{2n}
. Докажите, что
\beta_{1}+\beta_{3}+\ldots+\beta_{2n-1}=\beta_{2}+\beta_{4}+\ldots+\beta_{2n}.
Верно ли обратное?
Ответ. Обратное верно только для n=2
.
Указание. Композиция двух симметрий относительно пересекающихся осей есть поворот на угол, равный удвоенному углу между этими осями.
Решение. Пусть A_{1}A_{2}\ldots A_{2n}
— вписанный 2n
-угольник с углами \beta_{1}
, \beta_{2}
, \ldots
, \beta_{2n}
соответственно. Тогда серединные перпендикуляры l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{2n}
к его сторонам A_{1}A_{2}
, A_{2}A_{3}
, \ldots
, A_{2n}A_{1}
пересекаются в одной точке O
(центре описанной окружности).
Обозначим через \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, \ldots
, \alpha_{2n}
углы между прямыми l_{2n}
и l_{1}
, l_{1}
и l_{2}
, \ldots
, l_{2n-1}
и l_{2n}
, содержащие вершины A_{1}
, A_{2}
, \ldots
, A_{2n}
соответственно.
Композиция 2n
симметрий относительно прямых l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{2n}
есть тождественное преобразование (так как, например, точка A_{1}
, не лежащая ни на одной из этих прямых, остаётся на месте), т. е. поворот на угол, кратный 360^{\circ}
.
С другой стороны, композиция симметрий относительно прямых l_{1}
и l_{2}
есть поворот на угол 2\alpha_{2}
вокруг точки O
, относительно прямых l_{3}
и l_{4}
— поворот на угол 2\alpha_{4}
и т. д. Поэтому
2\alpha_{2}+2\alpha_{4}+\ldots+2\alpha_{2n}=360^{\circ}\cdot k
где k
— целое. Тогда
\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots+\alpha_{2n}=180^{\circ}\cdot k,
180^{\circ}-\beta_{2}+180^{\circ}-\beta_{4}+\ldots+180^{\circ}-\beta_{2n}=180^{\circ}\cdot k.
Отсюда находим, что
\beta_{2}+\beta_{4}+\ldots+\beta_{2n}=180^{\circ}\cdot(n-k).
Аналогично докажем, что
\beta_{1}+\beta_{3}+\ldots+\beta_{2n-1}=180^{\circ}\cdot(n-k).
Следовательно,
\beta_{1}+\beta_{3}+\ldots+\beta_{2n-1}=\beta_{2}+\beta_{4}+\ldots+\beta_{2n}.
Обратное утверждение верно лишь для n=2
. В этом случае из равенств
\beta_{1}+\beta_{3}=\beta_{2}+\beta_{4},~\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}+\beta_{4}=360^{\circ}
следует, что
\beta_{1}+\beta_{3}=\beta_{2}+\beta_{4}=180^{\circ},
т. е. около четырёхугольника можно описать окружность.
Пусть n\gt2.
Рассмотрим вписанный 2n
-угольник A_{1}A_{2}\ldots A_{2n}
, в котором
\beta_{1}+\beta_{3}+\ldots+\beta_{2n-1}=\beta_{2}+\beta_{4}+\ldots+\beta_{2n}.
На его сторонах A_{2}A_{3}
и A_{1}A_{2n}
выберем отличные от вершин точки P
и Q
так, что PQ\parallel A_{1}A_{2}
. Углы 2n
-угольника PA_{3}\ldots A_{2n}Q
соответственно равны углам 2n
-угольника A_{1}A_{2}\ldots A_{2n}
, но около 2n
-угольника PA_{3}\ldots A_{2n}Q
нельзя описать окружность, так как, например, через точки A_{2}
, A_{3}
, A_{4}
проходит единственная окружность, а точки P
и Q
на ней не лежат.