5110. На плоскости даны прямые l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{2n}
, пересекающиеся в одной точке. Блоха сидит в некоторой точке M
плоскости и прыгает через прямую l_{1}
, попадая в точку M_{1}
, причём M
и M_{1}
симметричны относительно прямой l_{1}
, далее — через прямую l_{2}
и т. д. Докажите, что если через 2n
прыжков блоха оказалась в точке M
, то, начиная движение из любой точки плоскости, через 2n
прыжков блоха окажется на прежнем месте.
Указание. Композиция двух симметрий относительно пересекающихся осей есть поворот на угол, равный удвоенному углу между этими осями.
Решение. Из условия задачи следует существование 2n
-угольника M_{1}\ldots M_{2n}
, (M_{2n}=M
), для которого прямые l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{2n}
— серединные перпендикуляры к сторонам MM_{2}
, M_{2}M_{3}
, \ldots
, M_{2n}M
соответственно.
Если \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, \ldots
\alpha_{2n}
— величины углов между прямыми l_{1}
и l_{2}
, l_{2}
и l_{3}
, \ldots
, l_{2n}
и l
, содержащих вершины M_{2}
, M_{3}
, \ldots
, M
, то
\alpha_{1}+\alpha_{3}+\ldots+\alpha_{2n-1}=180^{\circ}\cdot k,
где k
— целое, поскольку композиция симметрий относительно данных прямых l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{2n}
есть тождественное преобразование (точка M
остаётся на месте), т. е. поворот на угол, кратный 360^{\circ}
.
С другой стороны, композиция симметрий относительно прямых l_{1}
и l_{2}
есть поворот вокруг их точки пересечения на угол 2\alpha_{1}
, композиция симметрий относительно прямых l_{3}
и l_{4}
— поворот вокруг той же точки на угол \alpha_{3}
и т. д. Следовательно, в каком бы начальном положении блоха ни находилась, после 2n
прыжков она окажется на прежнем месте.