5111. В окружность вписан четырёхугольник ABCD
. Докажите, что если диагональ BD
является биссектрисой одного из углов четырёхугольника, то BD^{2}=AB\cdot BC+AD\cdot DC
. Докажите обратное утверждение.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Рассмотрим вписанный четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=d
и диагональю BD=e
, причём BD
— биссектриса угла ABC
. Докажем, что e^{2}=ab+cd
.
Равные вписанные углы опираются на равные хорды, поэтому c=d
.
Обозначим \angle BAD=\alpha
. Тогда \angle BCD=180^{\circ}-\alpha
. По теореме косинусов
e^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos\alpha,~e^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\alpha.
Умножим первое равенство на bc
, второе — на ad
и сложим полученные равенства. Тогда, учитывая, что c=d
, получим, что
e^{2}(bc+ad)=a^{2}bc+b^{2}ad+c^{2}ad+d^{2}bc=ab(ac+bd)+cd(ac+bd)=
=(ac+bd)(ab+cd)=(ad+bc)(ab+cd).
Следовательно,
e^{2}=ab+cd.
Что и требовалось доказать.
Пусть теперь известно, что четырёхугольник вписанный и e^{2}=ab+cd
. Докажем, что c=d
или a=b
. Отсюда будет следовать, что BD
— биссектриса либо угла ABC
, либо угла ADC
.
Поскольку четырёхугольник вписанный, \cos\angle BAD+\cos\angle BCD=0
, или
\frac{a^{2}+d^{2}-e^{2}}{2ad}+\frac{b^{2}+c^{2}-e^{2}}{2bc}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{a^{2}+d^{2}-ab-cd}{ad}+\frac{b^{2}+c^{2}-ab-cd}{bc}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{a(a-b)+d(d-c)}{ad}+\frac{b(b-a)+c(c-d)}{bc}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{a-b}{d}-\frac{a-b}{c}+\frac{d-c}{a}-\frac{d-c}{b}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a-b)\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{c}\right)+(d-c)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(a-b)(c-d)}{cd}+\frac{(d-c)(b-a)}{ab}=0~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(a-b)(c-d)\left(\frac{1}{cd}+\frac{1}{ab}\right)=0.
Следовательно, либо a=b
, либо c=d
. Что и требовалось доказать.