5113. Дан треугольник ABC
, O
— центр его описанной окружности, O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— точки, симметричные точке O
относительно прямых AB
, BC
и AC
. Докажите, что середины сторон треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
лежат на окружности девяти точек треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон треугольника и в середине одной из сторон треугольника O_{1}OO_{3}
— вписанный.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
, A_{2}
— середина отрезка O_{1}O_{3}
. Поскольку A_{2}C_{1}
и A_{2}B_{1}
— средние линии треугольника O_{1}OO_{3}
, то A_{2}C_{1}OB_{1}
— параллелограмм. Поэтому
\angle C_{1}A_{2}B_{1}=\angle C_{1}OB_{1}=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-\angle C_{1}A_{1}B_{1}.
Тогда
\angle C_{1}A_{2}B_{1}+\angle C_{1}A_{1}B_{1}=180^{\circ}.
Следовательно, точка A_{2}
лежит на описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, т. е. на окружности девяти точек треугольника ABC
. Аналогично для точек B_{2}
и C_{2}
.