5119. На плоскости даны точки O
, M
и прямая l
, проходящая через точку O
. Прямую l
повернули вокруг точки O
против часовой стрелки на угол \alpha
, получив прямую l_{1}
. Докажите, что точка, симметричная точке M
относительно прямой l_{1}
, получается из точки, симметричной точке M
относительно прямой l
, поворотом вокруг точки O
против часовой стрелки на угол 2\alpha
.
Указание. Композиция симметрий относительно сторон угла величины \alpha
есть поворот вокруг вершины этого угла на угол 2\alpha
.
Решение. Первый способ. Пусть M_{1}
и M_{2}
— точки, симметричные точке M
относительно прямых l
и l_{1}
соответственно. Тогда точка M_{1}
переходит в точку M_{2}
при композиции симметрий относительно прямых l
и l_{1}
, т. е. при повороте вокруг точки O
на угол 2\alpha
.
Второй способ. Пусть M_{1}
и M_{2}
— точки, симметричные точке M
относительно прямых l
и l_{1}
соответственно. Тогда OM=OM_{1}=OM_{2}
. Поэтому точки M
, M_{1}
и M_{2}
расположены на окружности с центром O
. Следовательно,
\angle M_{1}OM_{2}=2\angle M_{1}MM_{2}=2\alpha.