5122. Дана прямая l
и точка O
на ней. Докажите, что композиция поворота вокруг точки O
на угол \alpha
и симметрии относительно прямой l
есть осевая симметрия относительно прямой, проходящей через точку O
и составляющей с прямой l
угол \frac{\alpha}{2}
.
Указание. Замените поворот композицией двух осевых симметрий.
Решение. Заменим поворот на угол \alpha
композицией двух осевых симметрий относительно прямых l_{1}
и l_{2}
, пересекающихся в точке O
под углом \frac{\alpha}{2}
. Затем повернём прямые l_{1}
и l_{2}
так, чтобы l_{1}
совпала с l
. Тогда прямая l_{2}
переходит в некоторую прямую l_{3}
. Композиция симметрий при этом не меняется. Получаем симметрию относительно прямой l_{3}
, а затем — тождественное преобразование (две симметрии относительно прямой l
). В результате имеем симметрию относительно прямой l_{3}
. Эта прямая проходит через точку O
и составляет с прямой l
угол \frac{\alpha}{2}
.
(S_{l}\circ R^{\alpha}_{O}=S_{l}\circ(S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}})=S_{l}\circ(S_{l}\circ S_{l_{3}})=E\circ S_{l_{3}}=S_{l_{3}}.)