5123. Докажите, что композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прямым, на величину, равную удвоенному расстоянию между ними.
Указание. Проследите путь произвольной точки плоскости при композиции симметрий. Рассмотрите все возможные случаи расположения этой точки.
Решение. Пусть M_{1}
— образ точки M
при симметрии относительно прямой l_{1}
, а M_{2}
— образ точки M_{1}
при симметрии относительно прямой l_{2}
; l_{1}\parallel l_{2}
. Ясно, что MM_{2}\perp l_{1}
.
Рассмотрим случай, когда точка M_{1}
расположена между точками M
и M_{2}
. Если K
и H
— середины отрезков MM_{1}
и M_{1}M_{2}
, то
MM_{2}=MM_{1}+M_{1}M_{2}=2KM_{1}+2HM_{1}=2(KM_{1}+HM_{1})=2h,
где h
— расстояние между прямыми l_{1}
и l_{2}
. Остальные случаи рассматриваются аналогично.