5125. На плоскости даны две параллельные прямые l
и m
. Их параллельно перенесли на некоторое расстояние h
, получив прямые l_{1}
и m_{1}
. Докажите, что композиция симметрий относительно прямых l
и m
и композиция симметрий относительно прямых l_{1}
и m_{1}
— одно и то же преобразование.
Указание. Композиция симметрий относительно двух параллельных прямых есть параллельный перенос.
Решение. Первое преобразование — параллельный перенос на вектор, перпендикулярный l
и m
и равный по модулю 2h
, где h
— расстояние между l
и m
.
Второе — параллельный перенос на вектор, перпендикулярный l_{1}
и m_{1}
и равный по модулю 2h_{1}
, где h_{1}
— расстояние между l_{1}
и m_{1}
. Остаётся заметить, что h=h_{1}
.