5127. Докажите, что композиция параллельного переноса в направлении, перпендикулярном некоторой прямой, и симметрии относительно этой прямой есть осевая симметрия.
Указание. Представьте рассматриваемый параллельный перенос в виде композиции двух симметрий относительно параллельных прямых.
Решение. Представим указанный параллельный перенос в виде композиции симметрий относительно прямых l_{1}
и l_{2}
, параллельных данной прямой l
. Пусть при параллельном переносе в направлении, перпендикулярном этим прямым, прямая l_{2}
переходит в прямую l
, а прямая l_{1}
— в некоторую прямую l_{3}
. Тогда композиция симметрий относительно прямых l_{1}
и l_{2}
совпадает с композицией симметрий относительно прямых l_{3}
и l
. Следовательно, композиция симметрий относительно прямых l_{1}
, l_{2}
и l
есть симметрия относительно прямой l_{3}
(поскольку композиция двух симметрий относительно одной и той же прямой есть тождественное преобразование).
(S_{l}\circ T=S_{l}\circ(S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}})=S_{l}\circ(S_{l}\circ S_{l_{3}})=E\circ S_{l_{3}}=S_{l_{3}}.)