5130. Из центра O
окружности проведены n
прямых (n
— нечётно). С помощью циркуля и линейки постройте вписанный в окружность n
-угольник, для которого данные прямые являются серединными перпендикулярами к n
его сторонам.
Указание. Рассмотрите композицию осевых симметрий относительно данных прямых.
Решение. Предположим, что нужный n
-угольник A_{1}A_{2}\ldots A_{n}
построен. При последовательных симметриях относительно n
данных прямых точка A
переходит в себя. Композиция n
симметрий — это симметрия, т. к. n
— нечётно. Следовательно, точка A_{1}
лежит на её оси.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть M
— любая точка на окружности. Последовательно отражая её от n
данных прямых, получим некоторую точку M_{1}
. Искомая ось результирующей симметрии — серединный перпендикуляр к MM_{1}
. Вершина A_{1}
— точка его пересечения с окружностью.
Задача всегда имеет два решения.