5131. На плоскости дано n
прямых (n
— нечётно), пересекающихся в одной точке. С помощью циркуля и линейки постройте n
-угольник, для которого эти прямые являются биссектрисами внешних или внутренних углов.
Указание. Рассмотрите композицию осевых симметрий относительно данных прямых.
Решение. Возьмём любую сторону n
-угольника. Прямая, её содержащая, переходит в себя при композиции симметрий относительно n
данных прямых. Поскольку n
нечётно, то композиция n
симметрий есть осевая симметрия. Поэтому рассматриваемая прямая — либо ось результирующей симметрии, либо перпендикулярна ей.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть M
произвольная точка. Последовательно отражая её от n
данных прямых, строим точку M_{1}
. Прямая, на которой лежит сторона искомого n
-угольника, — либо серединный перпендикуляр к отрезку MM_{1}
, либо любая прямая, параллельная MM_{1}
.