5134. В интервале (0;\pi)
дано n
чисел: \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, \ldots
, \alpha_{n}
, при этом \alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n}=\pi(n-2)
. С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность n
-угольник, внутренние углы которого равны соответственно \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, \ldots
, \alpha_{n}
. Когда построение возможно?
Ответ. Построение возможно: при нечётном n
— всегда, при чётном — при условии, что
\alpha_{1}+\alpha_{3}+\ldots+\alpha_{n-1}=\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots+\alpha_{n}.
Указание. Задача сводится к построению вписанного в данную окружность n
-угольника, стороны которого соответственно параллельны n
данным прямым.
Решение. Предположим, что нужный многоугольник A_{1}A_{2}\ldots A_{n}
построен. Пусть \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, \ldots
, \alpha_{n}
— величины углов при его вершинах A_{1}
, A_{2}
, \ldots
, A_{n}
соответственно. Через центр O
данной окружности проведём прямые l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{n}
, соответственно перпендикулярные сторонам A_{1}A_{2}
, A_{2}A_{3}
, \ldots
, A_{n}A_{1}
. Тогда углы между прямыми l_{n}
и l_{1}
, l_{1}
и l_{2}
, \ldots
, l_{n-1}
и l_{n}
соответственно равны \pi-\alpha_{1}
, \pi-\alpha_{2}
, \ldots
, \pi-\alpha_{n}
, а их сумма равна \pi n-\pi(n-2)=2\pi
.
При композиции осевых симметрий относительно прямых l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{n}
вершина A_{1}
переходит в себя.
Если n
нечётно, то такая композиция есть симметрия относительно некоторой прямой l
, а точка A_{1}
(неподвижная точка этой симметрии) лежит на оси симметрии. В этом случае годится следующее построение.
Через центр O
данной окружности проводим прямые l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{n}
, последовательно образующие между собой углы \pi-\alpha_{2}
, \pi-\alpha_{3}
, \ldots
, \pi-\alpha_{n}
, \pi-\alpha_{1}
. Строим образ M_{1}
произвольной точки M
данной окружности при композиции симметрий относительно прямых l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{n}
. Серединный перпендикуляр к отрезку MM_{1}
пересекает окружность в искомой вершине A_{1}
.
Остальные вершины искомого n
-угольника строятся с помощью симметрий относительно прямых l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{n-1}
. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до движения).
Если же n
чётно, то композиция симметрий относительно прямых l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{n}
есть поворот на угол
2(\pi-\alpha_{2})+2(\pi-\alpha_{4})+\ldots+2(\pi-\alpha_{n})=\pi n-2(\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots+\alpha_{n})
вокруг точки O
. Поскольку при этом повороте точка A_{1}
, отличная от центра O
поворота, остаётся на месте, то это тождественное преобразование. Поэтому
\pi n-2(\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots+\alpha_{n})=2\pi,
т. е.
\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots+\alpha_{n}=\frac{\pi(n-2)}{2}.
Тогда
\alpha_{1}+\alpha_{3}+\ldots+\alpha_{n-1}=\pi(n-2)-\frac{\pi(n-2)}{2}=\frac{\pi(n-2)}{2}.
Следовательно,
\alpha_{1}+\alpha_{3}+\ldots+\alpha_{n-1}=\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots+\alpha_{n},
и задача имеет бесконечно много решений. В качестве вершины A_{1}
можно взять любую точку окружности.
Если
\alpha_{1}+\alpha_{3}+\ldots+\alpha_{n-1}\ne\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots+\alpha_{n},
то решений нет.