5135. На плоскости даны 2n-1
прямых, окружность и точка K
внутри окружности. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность 2n
-угольник, у которого одна сторона проходит через точку K
, а остальные параллельны данным прямым.
Указание. Рассмотрите композицию симметрий относительно перпендикуляров к данным прямым, проходящих через центр данной окружности.
Решение. Пусть A_{1}\ldots A_{2n}
— искомый многоугольник, точка K
принадлежит его стороне A_{1}A_{2n}
. Проведём через центр окружности 2n-1
прямых, соответственно перпендикулярных данным. Получим серединные перпендикуляры к сторонам A_{1}A_{2}
, A_{2}A_{3}
, \ldots
, A_{2n-1}A_{2n}
.
Вершина A_{1}
при композиции симметрий относительно этих прямых переходит в вершину A_{2n}
. Поскольку число прямых нечётно, то эта композиция есть симметрия относительно некоторой прямой.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим ось композиции симметрий. Затем через данную точку K
проводим прямую, перпендикулярную этой оси. Полученная хорда — сторона A_{1}A_{2n}
искомого многоугольника.
Остальные вершины строим с помощью симметрий относительно перпендикуляров к данным прямым, проходящих через центр данной окружности.