5137. На плоскости даны 2n
прямых, окружность и точка K
внутри неё. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность (2n+1)
-угольник, одна сторона которого проходит через точку K
, а остальные стороны параллельны данным прямым.
Указание. Рассмотрите композицию симметрий относительно перпендикуляров к данным прямым, проходящих через центр данной окружности.
Решение. Предположим, что нужный многоугольник A_{1}\ldots A_{2n+1}
построен. Пусть данная точка K
лежит на его стороне A_{1}A_{2n+1}
. Из центра окружности проведём 2n
прямых, перпендикулярных данным. Они являются серединными перпендикулярами к отрезкам A_{1}A_{2}
, A_{2}A_{3}
, \ldots
, A_{2n}A_{2n+1}
. Точка A_{1}
переходит в A_{2n+1}
при композиции симметрий относительно этих 2n
прямых, т. е. при повороте на некоторый угол \varphi
.
Следовательно, задача сводится к проведению через точку K
хорды A_{1}A_{2n+1}
, которая видна из центра данной окружности под данным углом \varphi
.