5140. ABC
— данный разносторонний треугольник, A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— точки касания его вписанной окружности со сторонами BC
, AC
, AB
соответственно, A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— точки, симметричные точкам A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
относительно биссектрис соответствующих углов треугольника ABC
. Докажите, что A_{2}C_{2}\parallel AC
.
Указание. Воспользуйтесь тем, что точки C_{2}
и A_{2}
переходят в точку B_{1}
при композициях симметрий относительно двух биссектрис.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности. Тогда точка B_{1}
переходит в точку C_{1}
при симметрии относительно прямой AO
, C_{1}
— в C_{2}
при симметрии относительно CO
. Поэтому
\angle B_{1}OC_{2}=2\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B\right)=180^{\circ}-\angle B.
Аналогично \angle B_{1}OA_{2}=180^{\circ}-\angle B
.
Таким образом, \angle B_{1}OC_{2}=\angle B_{1}OA_{2}
и точки A_{2}
и C_{2}
симметричны относительно прямой BO
. Следовательно, A_{2}C_{2}\parallel AC
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 17.25 (фрагмент), с. 58
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 17.26, с. 363